本文目录索引

• 1，三角形余弦定理公式是什么?
• 2，三角形余弦定理公式是什么？
• 3，余弦公式是什么呀？
• 4，数学三角形余弦定理是什么？
• 5，余弦定理是什么
• 6，正余弦定理基本公式
• 7，余弦定理公式是什么？
• 8，三角形的正弦定理和余弦定理是什么？
• 9，三角形余弦定理

1，三角形余弦定理公式是什么?

三角形余弦定理公式是cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理。 拓展知识 判定定理，两根判别法。若记m，c1,c2为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。 ①若m（c1,c2）=2,则有两解。 ②若m（c1,c2）=1,则有一解。 ③若m（c1,c2）=0,则有零解即无解。 注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

2，三角形余弦定理公式是什么？

三角形余弦定理公式：a^2=b^2+c^2-2bccosA。 三角形余弦定理：一条边的平方，等于另两条边的平方和，减去另两条边与夹角余弦成绩的2倍。 左边是一条边a，右边的余弦是a对应的角A，右边的边都是b和c，这样记可能容易点。 比如一个三角形ABC中，∠C＝90°。则AB叫做斜边，AC叫做∠A的邻边，BC叫做∠A的对边，所以cosA＝AC/AB，sinA=BC/AB，同理cosB＝BC/AB，sinB=AC/AB。 cos公式的其他资料： 它是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角。 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

3，余弦公式是什么呀？

余弦公式:cosA=(b²+c²-a²)/2bc。 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 余弦公式： 余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。 余弦函数的定义域是整个实数集，值域是［-1,1]。它是周期函数，其最小正周期为2T。在自变量为2kn( k为整数）时，该函数有极大值1;在自变量为（2k+1)T时，该函数有极小值－1。余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

4，数学三角形余弦定理是什么？

余弦定理表达式：cos A=(b²+c²-a²)/2bc 余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 扩展资料： 定理应用： 余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下三种需求： 1，当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。 2，当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。 3，当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。 求边： 余弦定理公式可变换为以下形式： 因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。 参考资料：百度百科-----余弦定理

5，余弦定理是什么

在国外，尤其在西方，勾股(余弦）定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾平方+股平方=弦平方”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．

无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了勾股定理，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这同一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富.值得一提的是:在发现这一共同性质后的收获却是不完全相同的．下面以“毕达哥拉斯定理”和“勾股定理”为例，做一简单介绍：

一、毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯是一个古希腊人的名字．生于公元前6世纪的毕达哥拉斯，早年曾游历埃及、巴比伦（另一种说法是到过印度）等地，后来移居意大利半岛南部的克罗托内，并在那里组织了一个集政治、宗教、数学于一体的秘密团体毕达哥拉斯学派，这个学派非常重视数学，企图用数来解释一切．他们宣称，数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于实用，而是为了探索自然的奥秘．他们对数学看法的一个重大贡献是有意识地承认并强调：数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事物或实际形象是截然不同的．有些原始文明社会中的人（如埃及人和巴比伦人）也知道把数脱离实物来思考，但他们对这种思考的抽象性质所达到的自觉认识程度，与毕达哥拉斯学派相比，是有相当差距的．而且在希腊人之前，几何思想是离不开实物的．例如，埃及人认为，直线就是拉紧的绳或田地的一条边；而矩形则是田地的边界．毕达哥拉斯学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来．

正因为如此，毕达哥拉斯学派在他们的探索中，发现了既属于算术又属于几何的用三个整数表示直角三角形边长的公式：若2n+1，2n2+2n分别是两直角边，则斜边是2n2+2n+1（不过这法则并不能把所有的整勾股数组表示出来）．也正是由于上述原因，这个学派通过对整勾股数的寻找和研究，发现了所谓的“不可通约量”例如，等腰直角三角形斜边与一直角边之比即正方形对角线与其一边之比不能用整数之比表达．为此，他们把那些能用整数之比表达的比称做“可公度比”，意即相比两量可用公共度量单位量尽，而把不能这样表达的比称做“不可公度比”．像我们今日写成：1的比便是不可公度比．至于与1不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派给出的．这个证明指出：若设等腰直角三角形斜边能与一直角边公度，那么，同一个数将既是奇数又是偶数．证明过程如下：设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为：，并设这个比已表达成最小整数之比．根据毕达哥拉斯定理2=2+2，有2=22．由于22为偶数即x2为偶数，所以必然也是偶数，因为任一奇数的平方必是奇数（任一奇数可表示为2n+1，于是（2n+1）2=4n2+4n+1，这仍是一个奇数．但是比：是既约的，因此，必然不是偶数而是奇数，既然是偶数，故可设=2．于是2=42=22．因此，2=22，这样，2是个偶数，于是也是偶数，但是同时又是个奇数，这就产生了矛盾．

关于对毕达哥拉斯定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用面积来进行的．如图 1，可证



△ABD≌△FBC，
矩形BL=2△ABD，
正方形GB=2△FBC．
于是 矩形BL=正方形GB．
同样有 矩形CL=正方形AK．
所以 正方形GB+正方形AK=正方形BE．


毕达哥拉斯学派对勾股定理的研究及其收获由此可见一斑．实际上，毕达哥拉斯学派关心得更多的是数学问题本身的研究；以毕达哥拉斯学派为代表的古希腊数学是以空间形式为主要研究对象，以逻辑上的演绎推理为主要的理论形式．而毕达哥拉斯定理的发现（关于可公度比与不可公度比的研究、讨论），实际上导致了无理数的发现，尽管毕达哥拉斯学派不愿意接受这样的数，并因此造成了数学史上所谓的第一次数学危机，但是毕达哥拉斯学派的探索仍然是功不可没的．

二、我国的勾股定理

在我国，至今可查的有关勾股定理的最早记载，是大约公元前1世纪前后成书的《周髀算经》，其中有一段公元前1千多年前的对话：“昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度．请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方．圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一．故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五．”

《周髀算经》中还有“陈子测日”的记载：根据勾股定理，周子可以测出日高及日远．例如，当求得了日高及测得了测量人所在位置到日下点的距离之后，计算日远的方法是：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股自乘，并开方而除之，得邪至日者．”

《周髀算经》是我国流传至今的一部最早的数学著作．书中主要讲述了学习数学的方法以及用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等．在唐代，《周髀算经》与其他九部陆续出现在我国汉唐两代千余年间的数学著作一起，被国子监算学馆定为课本，后世通称这十本书为《算经十书》．《算经十书》较全面地反映了自先秦至唐初我国的数学成就．其中许多书中都涉及到了勾股定理的内容，尤其《九章算术》（《算经十书》之一）第九章“勾股”专门讲解有关直角三角形的理论，所讨论的主要内容就是勾股定理及其应用．该章共有设问24题，提出22术．其中第6题是有名的“引葭赴岸”：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”这是一个流传甚广的题目，类似题目一再在其他书中出现，例如成书于5世纪中叶的《张邱建算经》（《算经十书》之一）、朱世杰所著的《四元玉鉴》（1303年）等．

我们的先辈们还根据勾股定理发明了一种由互相垂直的勾尺和股尺构成的测量工具矩．如，《周髀算经》中记载了商高对用矩之道的论述：“平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远．”又如，我国魏晋间杰出的数学家刘徽在他的名著《海岛算经》（《算经十书》之一）中共列出了9个有代表性的可用矩解决的测望问题，其中第4个问题是：“今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺，从勾端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勾端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何．”

我国最早的关于勾股定理的证明，目前人们认为是汉代赵爽对《周髀算经》的注释．如图 2，图中的四个直角三角形的面积，加上最小的正方形的面积，等于介于大正方形与小正方形之间的那个正方形的面积．
即 ，
化简得：a2+b2=c2．


可以看出，我国古代的数学与古希腊的数学不大一样．实际上，我国数学的主要研究对象不是空间形式，而是数量关系；其理论形式不是逻辑演绎体系，而是以题解为中心的算法体系．与古希腊数学采取层层论证的思维方式不同，我国古代数学家的思维方式是以直觉思维为主，又以类比为发现和推论结果的主要手段．

对于勾股定理，我国古代的数学家没有把主要精力放在仅仅给出严格的逻辑推理证明上，也没有在不可通约量究竟是什么性质的数上面做文章，而是立足于对由此可以解决的一类实际问题算法的深入研究．通过在直角三角形范围内讨论与勾股定理、相似直角三角形性质定理有关的命题，他们推出了一种组合比率算法勾股术．勾股术把相似直角三角形的概念作为基本概念，把相似直角三角形的性质作为基本性质，使相似直角三角形之间的相似比率构成了勾股的核心．勾股术用比率表达相似勾股对应边成比例的原理，勾股整数和勾股两容（容圆、容方）问题的求解；建立了勾股测量的理论基础．后来，刘徽实际上把相似勾股形理论确定为勾股比率论，并明确提出了“不失本率原理”，又把这个原理与比例算法结合起来，去论证各种各样的勾股测量原理，从而为我国古代的勾股测望术建立了坚实的理论基础．

有的专家还提出：勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学．

6，正余弦定理基本公式

正余弦定理基本公式： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 用途： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形。 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系。 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。 扩展资料 正余弦定理的证明 在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， 余弦 b/sinB=c/sinC 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 参考资料来源：百度百科-正余弦定理

7，余弦定理公式是什么？

余弦定理表达式1： 同理，也可描述为： 余弦定理表达式2： 余弦定理表达式3（角元形式） 扩展资料：余弦定理证明： 1、平面三角形证法 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB 在Rt△ACD中， b²=AD²+DC²=（c*sinB）²+（a-c*cosB）² =c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B =c²（sin²B+cos²B）+a²-2ac*cosB =c²+a²-2ac*cosB 2、平面向量证法 有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴c·c=（a+b）·（a+b） ∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos（π-θ） 又∵cos（π-θ）=-cosθ（诱导公式） ∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ 此即c²=a²+b²-2abcosC 即cosC=（a2+b2-c2）/2*a*b

8，三角形的正弦定理和余弦定理是什么？

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
　　R为三角形外接圆半径

对于任意三角形
三边为a,b,c
三角为A,B,C
满足性质
　　(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c
。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)
　　a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
　　b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
　　c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
　　CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
　　CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
　　CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

9，三角形余弦定理

　　余弦定理（第二余弦定理）

　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
　　直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
　　编辑本段
　　余弦定理性质

　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——
　　a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA
　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB
　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
　　cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)
　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)
　　（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）
　　第一余弦定理（任意三角形射影定理）
　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。
　　编辑本段
　　余弦定理证明

　　平面向量证法
　　∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴c·c=(a+b)·(a+b)
　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
　　（以上粗体字符表示向量）
　　又∵cos(π-θ)=-Cosθ
　　∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
　　再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC
　　即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
　　同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
　　平面几何证法
　　在任意△ABC中
　　做AD⊥BC.
　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
　　根据勾股定理可得：
　　AC^2=AD^2+DC^2
　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2
　　b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2
　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
　　编辑本段
　　作用

　　(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角
　　(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。
　　(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)
　　判定定理一(两根判别法)：
　　若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取
　　减号的值
　　①若m(c1,c2)=2,则有两解
　　②若m(c1,c2)=1,则有一解
　　③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。
　　注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
　　判定定理二(角边判别法):
　　一当a>bsinA时
　　①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解
　　②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)
　　③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解
　　④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)
　　⑤当b<a时，则有一解
　　二当a=bsinA时
　　①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解
　　②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)
　　三当a<bsinA时,则有零解(即无解)
　　解三角形公式　　例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。
　　解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.
　　由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理
　　cos A=0
　　所以∠A=90°.
　　再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。
　　解 由余弦定理可知
　　BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A
　　=4+9-2×2×3×cos60
　　=13-12x0.5
　　=13-6
　　=7
　　所以BC=√7. (注：cos60=0.5,可以用计算器算）
　　以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。
　　编辑本段
　　其他

　　从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
　　解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。

　　​ 30° 45° 60°
　　Sin 1/2 √2/2 √3/2
　　Cos √3/2 √2/2 1/2
　　Tan √3/3 1 √3