余弦定理的证明,余弦定理怎么证明？
本文目录索引
- 1，余弦定理怎么证明？
- 2，怎么证明余弦定理？
- 3，余弦定理的证明方法及过程
- 4，三种方法证明余弦定理
- 5，正余弦定理内容及所有的证明方法
- 6，请问余弦定理的公式，及推导过程
- 7，如何证明余弦定理
- 8，余弦定理是什么？如何证明？(不要复制的)
1，余弦定理怎么证明？
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．
对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
证明：
如图：
∵a=b-c
∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc
再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。
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平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,
如果一个三角形两边的平方和等于第三
边的平方,那么第三边所对的角一定是直
角,如果小于第三边的平方,那么第三边所
对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边
所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
2，怎么证明余弦定理？
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2
b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
3，余弦定理的证明方法及过程
任意做三角形ABC，记BC=a，AC=b，AB=c，BC所对角为α，过B做BD⊥AC交AC于点D
则有两个直角三角形Rt△ABD与Rt△BDC
BD=csinα，AD=ccosα，CD=b-ccosα
由勾股定理，BD^2+CD^2=BC^2
(csinα)^2+(b-ccosα)^2=b^2-2bccosα+c^2[(sinα)^2+(cosα)^2]=b^2-2bccosα+c^2=a^2
即证余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosα
同理可证余弦定理其他式子
4，三种方法证明余弦定理
在△ABC中，AB＝c、BC＝a、CA＝b
则c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC
a^2＝b^2＋c^2－2bc*cosA
b^2＝a^2＋c^2－2ac*cosB
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过A作AD⊥BC于D ，则BD＋CD＝a
由勾股定理得：
c^2＝(AD)^2＋(BD)^2 ，(AD)^2＝b^2－(CD)^2
所以c^2＝(AD)^2－(CD)^2＋b^2
＝(a－CD)^2－(CD)^2＋b^2
＝a^2－2a*CD ＋(CD)^2－(CD)^2＋b^2
＝a^2＋b^2－2a*CD
因为cosC＝CD/b
所以CD＝b*cosC
所以c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC
5，正余弦定理内容及所有的证明方法
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b应互换位置
对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质
a2=b2+c2-2*b*c*CosA
b2=a2+c2-2*a*c*CosB
c2=a2+b2-2*a*b*CosC
CosC=(a2+b2-c2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
证明：
∵如图，有a→+b→=c→
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)
整理得到c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2
b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB
b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2
b2=c2+a2-2ac*cosB
cosB=(c2+a2-b2)/2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
注：a^2；b^2；c^2就是a的２次方、b的２次方、c的２次方；a*b、a*c就是a乘b、a乘c
6，请问余弦定理的公式，及推导过程
1.三角形的正弦定理证明：
步骤1.
在锐角△abc中，设三边为a，b，c。作ch⊥ab垂足为点h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到
a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
步骤2.
证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.
连接da.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc＝c/sind=bd=2r
a/sina=bc/sind=bd=2r
类似可证其余两个等式。
2.三角形的余弦定理证明：
平面几何证法：
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根据勾股定理可得：
ac^2=ad^2+dc^2
b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac
7，如何证明余弦定理
可以参考一下：http://www.cbe21.com/subject/maths/html/040201/2001_01/20010109_311.html
用向量来证明是比较方便的。我们高一的课本上面就有，是新课标粤教版的第四册，其他的版本应该也都大同小异吧。
这个页面的中间部分有向量的证明方法：
http://www.pkuschool.com/zadmin/manage/details.asp?TopicAbb=directions&FileName=g1v4sxb5570a05.htm
8，余弦定理是什么？如何证明？(不要复制的)
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2
b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
余弦定理的证明方法大全(共十法)
http://wenku.baidu.com/link?url=TlF5ainreJ-VSuLtiC2t4JClfBkoHxqxtyF1SF6VexQ037rWSv-gUWL4Gbwq5d0z1Y0ewqVkCpYAceOAp4u5a2FAUcMPKMbdBbIYbq4sqrW