本文目录索引

• 1，如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作
• 2，如图,ab是⊙0的直径,弦cd丄ab于点e,点p在⊙0上，ㄥ1=ㄥC (1)求证:CB平行PD
• 3，如图:AB为圆O的直径,AB=AC,BC交圆O于点D,AC交圆O于点E,角BAC=45度
• 4，（2013?山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在CO的延长线上，连接BD．已知BC=BD，AB=4．（
• 5，（2014?铜仁）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．
• 6，已知，如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，OD垂直BC于点D，过点C作圆O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE
• 7，如图,ab是圆o的直径,弦cd垂直ab于点e,点p在圆o上,角1等于角c.
• 8，如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,CD垂直AB于D,点E是圆O上一点,且角ACE=2倍角BCD,连AE
• 9，AB是○O的直径，点C是○O上一点，CD⊥AB于D,点E是○O上一点，且∠ACE=2∠BCD，连AE

1，如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作

切线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
分析：（1）由AB为⊙O的直径，DE=EC，根据垂径定理的推论，可证得AB⊥CD，又由EG⊥BC，易证得∠CDA=∠DEH，即可得HD=EH，继而可证得AH=EH，则可证得结论；
（2）由AB为⊙O的直径，可得∠BDF=90°，由BF是切线，可得∠DBF=∠C，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案．
解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE=EC，
∴AB⊥CD，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CBE=∠CEG，
∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，
∴∠CDA=∠DEH，
∴HD=EH，
∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，
∴AH=EH，
∴AH=HD；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠DBF=∠C，
∵cos∠C=
4
5
，DF=9，
∴tan∠DBF=
3
4
，
∴BD=
DF
tan∠DBF
=12，
∵∠A=∠C，
∴sin∠A=
3
5
，
∴AB=
BD
sin∠A
=20，
∴⊙O的半径为10．

点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、弦切角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

2，如图,ab是⊙0的直径,弦cd丄ab于点e,点p在⊙0上，ㄥ1=ㄥC (1)求证:CB平行PD

（1） 证明： ∵∠1=∠D（同弧所对的圆周角相等）， ∠1=∠C（已知）， ∴∠D=∠C（等量代换）， ∴CB//PD（内错角相等，两直线平行）。 （2） 【解法1】 ∵BC=3，BE/BC=3/5， ∴BE=9/5， ∵CD⊥AB，AB是直径， ∴CE=DE（垂径定理）， ∠BEC=90°， ∴CE=√（BC^2-BE^2）=12/5（勾股定理）， ∵AE×BE=CE×DE（相交弦定理）， ∴AE=CE×DE÷BE=12/5×12/5÷9/5=16/5， ⊙O的直径AB=AE+BE=16/5+9/5=5 。 【解法2】 连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CEB=90°， 在△ACB和△CEB中， ∵∠ACB=∠CEB=90°，∠ABC=∠CBE， ∴△ACB∽△CEB（AA）， ∴BC/AB=BE/BC=3/5 ∵BC=3, ∴AB=5, 即⊙O的直径为5 。

3，如图:AB为圆O的直径,AB=AC,BC交圆O于点D,AC交圆O于点E,角BAC=45度

(1)对
点E在圆上，AB是直径所以∠AEB=90°
∵∠BAC=45°
∴∠EBA=45°
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形∠ACB=∠ABC=67.5°
∠EBC=∠ABC-∠EBA=22.5°
(2)对
链接AD
∵点D在圆上
∴∠ADB=90° AD⊥BC
又∴△ABC为等腰三角形
∴点D是BC中点（等腰三角形性质）
(3)错(4)错(5)错(用勾股定理能看出来)
只有①②对！
……………………………………………………………
……………和上面兄弟的答案不大一样………………
…………我也好久没有学了！不知道谁对！…………
……建议去问老师！！老师喜欢问题多的孩子！……
……………………………………………………………

4，（2013?山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在CO的延长线上，连接BD．已知BC=BD，AB=4．（

（1）∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵sinA=BCAB=234=32，∴∠A=60°，∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC=∠ACO=60°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°，∵∠BOD=∠AOC=60°，∴∠OBD=180°-（∠BOD+∠D）=90°，∴OB⊥BD，则BD为圆O的切线；（2）∵AB为圆O的直径，且AB=4，∴OB=OC=2，∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，∵OC=OB，∴∠BCD=∠OBC，∴∠D=∠OBC，在△BCD和△OCB中，∠D=∠OBC，∠BCD=∠OCB，∴△BCD∽△OCB，∴CDBC=BCOC，即CD3=32，则CD=92．

5，（2014?铜仁）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．

（1）证明：连接OC，∵AC=DC，BC=BD，∴∠CAD=∠D，∠D=∠BCD，∴∠CAD=∠D=∠BCD，∴∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，设∠CAD=x°，则∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴x+2x=90，x=30，即∠CAD=∠D=30°，∠CBO=60°，∵OC=OB，∴△BCO是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠OCD=180°-30°-60°=90°，即OC⊥CD，∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：过O作OF⊥AE于F，∵在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，CD=103，∴OC=CD×tan30°=10，OD=2OC=20，∴OA=OC=10，∵AE∥CD，∴∠FAO=∠D=30°，∴OF=AO×sin30°=10×12=5，即圆心O到AE的距离是5．

6，已知，如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，OD垂直BC于点D，过点C作圆O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE

证明：（1）连接OC，

∵OD⊥BC，
∴OC=OB，CD=BD（垂径定理），
∴∠OCD=∠OBD，
∵∠OCD+∠COE=∠OBD+∠BOE=90°，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE​，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
故可证得BE与⊙O相切．

（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴ODOB=OHOD=DHBD
又∵sin∠ABC=23，OB=9，
∴OD=6，
∴OH=4，
∴DH=OD2-OH2=25，
又∵△ADH∽△AFB，
∴AHAB=DHFB，1318=2
5FB，
∴FB=36
513．

7，如图,ab是圆o的直径,弦cd垂直ab于点e,点p在圆o上,角1等于角c.

【1.求证：BC=PD】 证明： ∵∠P=∠C（同弧所对的圆周角相等） ∠1=∠C ∴∠P=∠1 ∴BC//PD 【此题应该有第二问：若bc等于3，sin角p等于3/5，求圆的直径。】 解： 连接AC。 ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∵CE⊥AB ∴弧BC=弧BD（垂径定理） ∴∠BAC=∠P（等弧对等角） ∴BC/AB=sin∠BAC=sin∠P=3/5 ∵BC=3 ∴⊙O的直径AB=5

8，如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,CD垂直AB于D,点E是圆O上一点,且角ACE=2倍角BCD,连AE

若是直线CO交AE于Q 则数据有问题 （1）∵AB为⊙O的直径CD⊥AB ∴∠BDC=∠ACB＝90° 易得∠1=∠4 而∠4=∠2 ∴∠1=∠4 =∠2 已知 ∠ACE=2∠1 ∴∠ACE=2∠1=2∠2 ∠3=∠2 连接OC 易得∠4 =∠5 ∴△OCA≌△OCE 得CA=CE ∴CQ⊥AE（等腰三角形三线合一） （2）∠1=∠2 ∠BDC=∠CQA＝90°△CBD∽△CAQ ∴BC：AC = BD：AQ =1:2 （已知AE=4 ） ∴∠1=∠4 =30°（∠ACB= 90° ）∴BC=2，AB=4 ∴半径=2 （AQ=2与半径=2有矛盾）

9，AB是○O的直径，点C是○O上一点，CD⊥AB于D,点E是○O上一点，且∠ACE=2∠BCD，连AE

若是直线CO交AE于Q 则数据有问题
（1）∵AB为⊙O的直径CD⊥AB ∴∠BDC=∠ACB＝90°
易得∠1=∠4 而∠4=∠2 ∴∠1=∠4 =∠2 已知
∠ACE=2∠1 ∴∠ACE=2∠1=2∠2 ∠3=∠2
连接OC 易得∠4 =∠5 ∴△OCA≌△OCE 得CA=CE
∴CQ⊥AE（等腰三角形三线合一）
（2）∠1=∠2 ∠BDC=∠CQA＝90°△CBD∽△CAQ
∴BC：AC = BD：AQ =1:2 （已知AE=4 ）
∴∠1=∠4 =30°（∠ACB= 90° ）∴BC=2，AB=4 ∴半径=2
（AQ=2与半径=2有矛盾）