一阶微分方程,一阶线性微分方程的线性怎么定义的

本文目录索引

1，一阶线性微分方程的线性怎么定义的
2，什么是线性微分方程的阶
3，一阶线性微分方程通解公式
4，一阶线性微分方程的通解公式
5，一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式怎么理解？
6，一阶线性微分方程？
7，什么是一阶微分方程
8，怎么理解一阶线性微分方程？希望能详细解释每一个定义。
9，根非齐次线性微分方程解的结构怎么得知？

1，一阶线性微分方程的线性怎么定义的

方程
dy/dx+p(x)y=q(x)

叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
q(x)恒等于0
，则方程称为齐次的；
如果
q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。、
例如(1+x^2)dy=(x+y)dx
dy/dx=（x+y）/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/（1+x^2)
dy/dx-y/（1+x^2)=x/(1+x^2)
p(x)=-1/（1+x^2)
q(x)=x/(1+x^2)不恒等于0
所以是一阶线性非齐次方程

一阶线性微分方程的线性怎么定义的

2，什么是线性微分方程的阶

3，一阶线性微分方程通解公式

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3 解： ∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³ (x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx (x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx [(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx d[y/(x-2)]=d[(x-2)²] y/(x-2)=(x-2)² C (C是积分常数) y=(x-2)³ C(x-2) ∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。扩展资料：形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。对于一阶非齐次线性微分方程：其对应齐次方程: 解为：令C=u(x)，得: 带入原方程得：对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。

4，一阶线性微分方程的通解公式

1、楼主问的问题是涉及积分因子的问题，而求积分因子的目的是在寻求全微分；
2、也就是说，在微分方程的左侧乘以一个积分因子，就使得左侧变成全微分形式。
3、如果在积分中加入积分因子，结果只是等于在积分因子前，乘上了一个e^c的常
数，这个常数对全微分没有丝毫贡献，也没有丝毫影响。所以，通常就省去了。
4、左侧乘上积分因子后，右侧同样乘以积分因子，因为左侧的导函数、原函数都
一次性地解决了，方程的右侧变成了一个单纯的积分问题，不再涉及导函数与原
函数的纠缠。
如有不明白之处，欢迎追问。

5，一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式怎么理解？

一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式应用“常数变易法”求解。由齐次方程dy/dx+P(x)y=0，dy/dx=-P(x)y，dy/y=-P(x)dx，ln│y│=-∫P(x)dx+ln│C│ (C是积分常数)，y=Ce^(-∫P(x)dx)，此齐次方程的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx)。于是，根据常数变易法，设一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的解为y=C(x)e^(-∫P(x)dx) (C(x)是关于x的函数) 代入dy/dx+P(x)y=Q(x)，化简整理得C'(x)e^(-∫P(x)dx)=Q(x)，C'(x)=Q(x)e^(∫P(x)dx) C(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C (C是积分常数) y=C(x)e^(-∫P(x)dx)=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) 故一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式是y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) (C是积分常数)。扩展资料：线性微分方程的一般形式是：其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y'，D2y = y"，……），是给定的函数。这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶导数，而不含n+1阶导数。如果ƒ = 0，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。参考资料：百度百科——通解

6，一阶线性微分方程？

解：∵微分方程为dy/dx+y=e^x，化为
e^xdy/dx+ye^x=e^2x
∴有d(ye^x)/dx=e^2x，
ye^x=0.5e^2x+c(c为任意常数)，
方程的通解为y=0.5e^x+ce^(-x)
解：∵微分方程为y'+ycosx=e^(-sinx)，
化为y'e^sinx+ycosxe^sinx=1
又∵(e^sinx)'=cosxe^sinx
∴有(ye^sinx)'=1，ye^sinx=x+c
(c为任意常数)，方程的通解为
y=(x+c)e^(-sinx)
解：∵微分方程为y'+y/x=sinx/x，化为
xy'+y=sinx
∴有(xy)'=sinx，xy=c-cosx
(c为任意常数)，方程的通解为
y=(c-cosx)/x
∵y|(x=π)=1 ∴有c=π-1
∴方程的特解为y=(π-1-cosx)/x

7，什么是一阶微分方程

首先要明白微分方程中的阶的意义：一个微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,就叫做这个微分方程的阶.如y"+xy=ysinx就是二阶微分方程了.一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程.数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算.而在微分方程中,自变量对未知函数y而言相当于常数,微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数.而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式.最终都可以化为形如dy/dx ＋p(x)y=q(x)的微分方程就叫做一阶线性微分方程,其中p(x),q(x)可以是自变量的任意函数.q(x)恒为零,则式子为一阶线性齐次方程,否则为一阶线性非齐次方程.因此齐次方程与非齐次方程是一阶线性微分方程的两大分类,一个一阶线性微分方程不是齐次方程就是非齐次方程.至于伯努利方程,实际上是一种非线性的一阶微分方程,但是经过适当的变量变换之后,它可以化成一阶线性方程.要转化之后才是一阶线性方程,因此你提问中的说法也是不对的,不是“一阶线性微分方程中,除了……和伯努利方程之外”,因为伯努利方程不在一阶线性方程中.
至于其他更详细的分类或者说其他形式的分类当然也有,如可分离变量的一阶线性微分方程等,不过一阶线性微分方程应该是最简单的微分方程了,过多分类已经没有什么必要,在此也就不一一枚举了.

8，怎么理解一阶线性微分方程？希望能详细解释每一个定义。

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。来源及发展微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

9，根非齐次线性微分方程解的结构怎么得知？

解法一：设此微分方程是y''+py'+qy=f(x)，其中p,q是待定常数，f(x)是待定函数。把y1,y2,y3代入，解得p,q,f(x)。此法麻烦。
解法二：利用二阶非齐次线性微分方程与齐次线性微分方程的解的特点。
y4=y3-y1=e^(-x)是对应的二阶齐次线性微分方程的特解，所以-1是特征方程的根。
y5=y1-y2-y4＝e^(2x)也是二阶齐次线性微分方程的特解，所以2是特征方程的根。
所以二阶齐次线性微分方程的特征方程是(r+1)(r-2)=0，即r²-r-2＝0，微分方程是y''-y'-2y=0。
y6=y1-y5＝xe^x是二阶非齐次线性微分方程的特解，y6''-y6'-2y6＝(x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x。
所以所求二阶非齐次线性微分方程是y''-y'-2y=(1-2x)e^x。